解答题
设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2．
问答题
27.求A的全部特征值；
【正确答案】设A为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则
Aα=λα (α≠0)，A2α=λ2α，
于是
(A2+2A)α=(λ2+2λ)α，
由条件A2+2A=O推知
(λ2+2A)α=0．
又由于α≠0，故
λ2+2λ=0．
解得
λ=－2．λ=0．
因为实对称矩阵A必可对角化，且r(A)=2，所以
Aα=λα (α≠0)，A2α=λ2α，
于是
(A2+2A)α=(λ2+2λ)α，
由条件A2+2A=O推知
(λ2+2A)α=0．
又由于α≠0，故
λ2+2λ=0．
解得
λ=－2．λ=0．
因为实对称矩阵A必可对角化，且r(A)=2，所以
【答案解析】
问答题
28.当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
【正确答案】【解法1】矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由上题知，A+kE的全部特征值为
－2+k，－2+k，k，
于是，当k>2时矩阵A+kE的特征值均大于零．因此，当k>2时，矩阵A+kE为正定矩阵．
【解法2】
实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P，使得
P－1AP=Λ．A=PΛP－1．
于是
A+kE=PΛP－1+kPP-1=P(Λ+kE)P－1．
所以
A+kE～Λ+kE．
而
－2+k，－2+k，k，
于是，当k>2时矩阵A+kE的特征值均大于零．因此，当k>2时，矩阵A+kE为正定矩阵．
【解法2】
实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P，使得
P－1AP=Λ．A=PΛP－1．
于是
A+kE=PΛP－1+kPP-1=P(Λ+kE)P－1．
所以
A+kE～Λ+kE．
而
【答案解析】