解答题
23.设f(x)在[a，b]_上二阶可导，且f’(a)＝f’(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f”(ξ)｜≥
【正确答案】由泰勒公式得
f(
)＝f(a)＋f’(a)(
－a)＋
(
－a)2，ξ1∈(a，
)，
f(
)＝f(b)＋f’(b)(
－b)＋
(
－b)2，ξ2∈(
，b)，
即f(
)＝f(a)＋
f”(ξ1)，f(
)＝f(b)＋
f”(ξ2)，
两式相减得f(b)－f(a)＝
[f”(ξ1)－f”(ξ2)]，
取绝对值得｜f(b)－f(a)｜≤
[ ｜f”(ξ1)｜＋｜f”(ξ2)｜]．
(1)当f”(ξ1)｜≥｜f”(ξ2)｜时，取ξ＝ξ1，则有｜f”(ξ)｜≥
｜f(b)－f(a)｜；
(2)当｜f”(ξ1)｜＜｜f”(ξ2)｜时，取ξ＝ξ2，则有｜f”(ξ)｜≥
f(
)＝f(a)＋f’(a)(－a)＋(－a)2，ξ1∈(a，)，f(
)＝f(b)＋f’(b)(－b)＋(－b)2，ξ2∈(，b)，即f(
)＝f(a)＋f”(ξ1)，f()＝f(b)＋f”(ξ2)，两式相减得f(b)－f(a)＝
[f”(ξ1)－f”(ξ2)]，取绝对值得｜f(b)－f(a)｜≤
[ ｜f”(ξ1)｜＋｜f”(ξ2)｜]．(1)当f”(ξ1)｜≥｜f”(ξ2)｜时，取ξ＝ξ1，则有｜f”(ξ)｜≥
｜f(b)－f(a)｜；(2)当｜f”(ξ1)｜＜｜f”(ξ2)｜时，取ξ＝ξ2，则有｜f”(ξ)｜≥
【答案解析】