解答题
设α=(1，2，3，4)T，β=(3，-2，-1，1)T，A=αβT．
(Ⅰ)求A的特征值，特征向量；
(Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵?说明理由．
(Ⅰ)求A的特征值，特征向量；
(Ⅱ)问A能否相似于对角矩阵?说明理由．
【正确答案】
【答案解析】[解]法一
故A有特征值λ=0(四重根)．
当λ=0时，有(λE-A)x=0，即Ax=0，Ax=0的同解方程为
3x1-2x2-x3+x4=0．
解得对应的特征向量为
ξ1=(2，3，0，0)T，ξ2=(1，0，3，0)T，ξ3=(1，0，0，-3)T．
A的对应于λ=0的全体特征向量为k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，其中k1，k2，k3为不同时为零的任意常数．
(Ⅱ)因r(A)=r(αβT)≤r(α)=1(α≠0)，A≠O，故r(A)=1．
因此λ=0为四重根时，线性无关的特征向量只有三个，故A不能相似于对角阵．
法二 (Ⅰ)r(A)=r(αβT)≤r(α)=1．又A≠O，故r(A)=1，|A|=0．
故A有特征值λ=0．对应的特征向量满足(0E-A)x=0，即Ax=αβTx=0，其同解方程为
3x1-2x2-x3+x4=0．
故知λ=0至少是A的三重特征值，设第4个特征值为λ4．
由
故A有特征值λ=0(四重根)．
当λ=0时，有(λE-A)x=0，即Ax=0，Ax=0的同解方程为
3x1-2x2-x3+x4=0．
解得对应的特征向量为
ξ1=(2，3，0，0)T，ξ2=(1，0，3，0)T，ξ3=(1，0，0，-3)T．
A的对应于λ=0的全体特征向量为k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，其中k1，k2，k3为不同时为零的任意常数．
(Ⅱ)因r(A)=r(αβT)≤r(α)=1(α≠0)，A≠O，故r(A)=1．
因此λ=0为四重根时，线性无关的特征向量只有三个，故A不能相似于对角阵．
法二 (Ⅰ)r(A)=r(αβT)≤r(α)=1．又A≠O，故r(A)=1，|A|=0．
故A有特征值λ=0．对应的特征向量满足(0E-A)x=0，即Ax=αβTx=0，其同解方程为
3x1-2x2-x3+x4=0．
故知λ=0至少是A的三重特征值，设第4个特征值为λ4．
由