问答题
求下列∞-∞型未定式极限．
问答题
求
【正确答案】本题为∞-∞型未定式极限．应先通分，化为[*]型未定式后，连续两次使用洛必达法则求出极限，即
[*]
在解题过程中，分母使用了等价无穷小量代换定理，当x→0时，ex-1～x．
[*]
在解题过程中，分母使用了等价无穷小量代换定理，当x→0时，ex-1～x．
【答案解析】
问答题
【正确答案】本题为∞-∞型未定式极限．应先通分，化为罟型未定式后，连续两次使用洛必达法则求出极限．
[*]
【答案解析】
问答题
求函数
【正确答案】D(f)=(0，+∞)，[*]，当0＜x＜1时，lnx＜0，得[*]
当x=1时，lnx=0，得y'=2＞0；
当x＞1时，由于x＞Inx，得[*]
综上所述，当x＞0时，恒有y'＞0．所以函数[*]的单调增加区间为(0，+∞)．
【答案解析】
问答题
求函数y=x-ln(x+1)的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间．
【正确答案】D(f)=(-1，+∞)．[*]，令y'=0，得驻点x=0，
当-1＜x＜0时，y'＜0，当x＞0时，y'＞0. [*]，恒有y"＞0，
函数y=x-ln(x+1)的单调减少区间为(-1，0)，单调增加区间为(0，+∞)，极小值为f(0)=0，其曲线的凹区间为(-1，+∞)．
【答案解析】
问答题
求函数
【正确答案】D(f)=(0，+∞)．[*]，令f(x)=0，得驻点x=e．
[*]，令f"(x)=0，得[*]
以下列表讲行讨论：
[*]
函数[*]的单调增加区间为(0，e)，单调减少区间为(e，+∞)，极大值为[*]
其曲线[*]的凸区间为(0，[*])，凹区间为([*]，+∞)，拐点为[*]．
【答案解析】
问答题
求函数y=xe-x在区间[0，2]上的最大值与最小值．
【正确答案】y'=(1-x)e-x令y'=0，得驻点x=1，y(0)=0，y(1)=[*]，y(2)=[*]，
所以函数y=xe-x在区间[0，2]上的最大值y(1)=[*]，最小值y(0)=0．
所以函数y=xe-x在区间[0，2]上的最大值y(1)=[*]，最小值y(0)=0．
【答案解析】
问答题
求函数
【正确答案】D(f)=(-∞，0)∪(0，+∞)．
[*]
令f'(x)=0，得驻点x=-2，令f"(x)=0，得x=-3．
以下列表讨论
[*]
[*]为水平渐近线，
[*]为铅垂渐近线.
所以函数f(x)的单调增加区间为(-2，0)，单调减少区间为(-∞，-2)∪(0，+∞)，极小值为[*]
其曲线[*]的凸区间为(-∞，-3)，凹区间为(-3，0)∪(0，+∞)，拐点为(-3，[*])．
且y=-1为水平渐近线，x=0为铅垂渐近线．
【答案解析】
问答题
将边长为a的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如图)，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱盒子，当图中的x取何值时，该盒子的容积最大?
【正确答案】由于正三棱柱盒子的高为[*]
正三棱柱盒子的底面积为[*]
所以正三棱柱盒子的容积为[*]
[*]
令V'(x)=0，得驻点[*](舍去)，
由于[*]
所以[*]为极大值点，由于实际问题存在最大值，所以[*]亦为最大值点，即[*]时容积最大，最大容积为[*]
【答案解析】
问答题
要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器．其侧面与上底用同一种材料，下底面用另一种材料．已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元，问该容器的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最省．
【正确答案】设S为材料费用函数，则S=2πrh+πr2+3πr2,
且满足条件πr2h=32π，所以[*]
[*]，令S'(r)=0，得驻点r=2，
因S"(2)=24π＞0，且驻点惟一，所以r=2为S(r)的最小值点，此时[*]，所以r=2厘米，h=8厘米时，材料费用最省．
且满足条件πr2h=32π，所以[*]
[*]，令S'(r)=0，得驻点r=2，
因S"(2)=24π＞0，且驻点惟一，所以r=2为S(r)的最小值点，此时[*]，所以r=2厘米，h=8厘米时，材料费用最省．
【答案解析】