解答题
22.设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f″(x)≥0．证明：
【正确答案】由泰勒公式得f(x)=
，
其中ξ介于x与
之间，
因为f″(x)≥0，所以有f(x)≥
，两边积分得∫abf(x)dx≥
令φ(x)=
－∫axf(t)dt，且φ(a)=0，
φ′(x)=
=
，其中a≤η≤x，
因为f″(x)≥0，所以f′(x)单调不减，于是φ′(x)≥0(a≤x≤b)，
由
得φ(b)≥0，于是∫abf(x)dx≤
，
故
，其中ξ介于x与
之间，因为f″(x)≥0，所以有f(x)≥
，两边积分得∫abf(x)dx≥令φ(x)=
－∫axf(t)dt，且φ(a)=0，φ′(x)=
=
，其中a≤η≤x，因为f″(x)≥0，所以f′(x)单调不减，于是φ′(x)≥0(a≤x≤b)，
由
得φ(b)≥0，于是∫abf(x)dx≤，故
【答案解析】