【正确答案】(Ⅰ)线性方程组Ax=β有解但不唯一，即有无穷多解→r(A)=＜n=3，将增广矩阵作初等行变换，得

因为方程组Ax=β有解但不唯一，所以r(A)=＜3，故a=一2。
(Ⅱ)由(Ⅰ)，有

故A的特征值为λ₁=0，λ₂=一3，λ₃=3。
当λ₁=0时，得方程组(0E—A)x=0的同解方程组为

可见，r(0E一A)=2，可知基础解系的个数为n一r(0E—A)=3—2=1，故有一个自由未知量，选x₂为自由未知量，取x₂=1，解得对应的特征向量为ξ₁=(1，1，1)^T。
当λ₁=3时，得方程组(3E—A)x=0的同解方程组为

可见，r(3E—A)=2，可知基础解系的个数为n一r(3E—A)=3—2=1，故有一个自由未知量，选x₁为自由未知量，取x₁=1，解得对应的特征向量为ξ₂=(1，0，一1)^T。
当λ₁=一3时，得方程组(一3E一A)x=0的同解方程组为

可见，r(一3E一A)=2，可知基础解系的个数为n一r(一3E—A)=3—2=1，故有一个自由未知量，选x₂为自由未知量，取x₂=2，解得对应的特征向量为ξ₃=(一1，2，一1)^T。
由于A是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，