f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,且f(-1)=0,f(1)=1,f'(0)=0.证明:存在ξ∈(-1,1),使得f''(ξ)=3.
【正确答案】正确答案:由泰勒公式得 f(-1)=f(0)+f'(0)(-1-0)+ (-1-0) 3 ,ξ 1 ∈(-1,0), f(1)=f(0)+f'(0)(1-0)+ (1-0) 3 ,ξ 2 ∈(0,1),即 两式相减得f''(ξ 1 )+f''(ξ 2 )=6. 因为f(x)在[-1,1]上三阶连续可导,所以f''(x)在[ξ 1 ,ξ 2 ]上连续,由连续函数最值定理,f''(x)在[ξ 1 ,ξ 2 ]上取到最小值m和最大值M,故2m≤f'''(ξ 1 )+f'''(ξ 1 )≤2M,即m≤3≤M. 由闭区间上连续函数介值定理,存在ξ∈[ξ 1 ,ξ 2 ]
【答案解析】