【正确答案】 B

【答案解析】 设f'(x)在(a，b)内的界为M，即|f'(x)|≤M，x∈(a，b)．在(a，b)内任取一个闭区间[α，β]，[*]因为f'(x)在(a，b)内存在，所以f(x)在(a，b)内连续，从而在[α，β]上连续，因此存在M₁，当x∈[α，β]时|f(x)|≤M₁．在[α，β]内取定x₀，在(a，b)内任取x．在区间[x₀，x]或[x，x₀]上用拉格朗日中值公式，得
   f(x)=f(x₀)+f'(ξ)(x-x₀)，
   |f(x)|≤|f(x₀)|+|f'(ξ)||x-x₀|
   ≤M₁+M(b-a)，
   其中ξ∈[x₀，x](或[x，x₀])，所以f(x)在(a，b)内有界．
   以下分别举例说明A，C，D不正确．
   A的反例．设[*]f(x)在(0，1)内有界：|f(x)|＜1，但[*][*]当x∈(0，1)．取[*]却是无界的．
   C的反例．设[*]f(x)在区间(0，+∞)内有界[*]而
   [*]
   [*]
   D的反例．设f(x)=x，f'(x)=1在(a，+∞)内有界，但f(x)=x在区间(a，+∞)内却无界．