问答题
(本题满分10分)
如果f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=1，
。
试证：
如果f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=1，
。
试证：
【正确答案】
【答案解析】证明：因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上存在且连续，由题设知
{f(x)}=0。令f(x
0
)=0，易见x
0
≠0，1。所以0＜x
0
＜1。
由于f(x)在x 0 点可导且在x 0 点取最小值，所以f"(x 0 )=0。将f(x)按(x-x 0 )的幂展开为二阶泰勒公式，有
，其中ξ在x与x
0
之间。
又f(x 0 )=f"(x 0 )=0，则
，即
。即x=0，1，并考虑到f(0)=f(1)=1，有
。于是，当0＜x
0
时，有
；当
时，
。故
{f(x)}=0。令f(x
0
)=0，易见x
0
≠0，1。所以0＜x
0
＜1。
由于f(x)在x 0 点可导且在x 0 点取最小值，所以f"(x 0 )=0。将f(x)按(x-x 0 )的幂展开为二阶泰勒公式，有
，其中ξ在x与x
0
之间。
又f(x 0 )=f"(x 0 )=0，则
，即
。即x=0，1，并考虑到f(0)=f(1)=1，有
。于是，当0＜x
0
时，有
；当
时，
。故