问答题
设d是线性方程组AX=b的解，β1，β2，…，βt是其导出组的基础解系，令
γ1=α+β1，γ2=α+β2，…，γt=α+βt
试证：
问答题
α，γ1，γ2，…，γt线性无关；
【正确答案】设x，x1，x2，…，xt是一组数，使
xα+x1γ1+x2γ2+…+xtγt=0.
将γi=α+βi(i=1，2，…，t)代入整理得
(x+x1+…+xt)α+x1β1+x2β2+…+xtβt=0. ①
用矩阵A左乘式①，因为βi(i=1，2，…，t)是AX=0的解，故Aβi=0 (i=1，2，…，t)，于是得
(x+x1+…+xt)Aα=(x1+x2+…+xt)b=0.
但b≠0，所以
x+x1+x2+…+xt=0. ②
将式②代入式①得x1β1+x2β2+…+xtβt=0.
由于β1，β2，…，βt是AX=0的基础解系，故线性无关，得
x1=x2=…=xt=0. ③
再将式③代入式②，知x=0，于是α，γ1，γ2，…，γt线性无关.
【答案解析】
问答题
方程组Ax=b的任一解γ可表示为γ=l0α+l1γ1+l2γ2+…+ltγt，其中l0+l1+…+lt=1.
【正确答案】由非齐次方程组解的结构知，若γ是AX=b的解，其可表示为
γ=α+k1β1+k2β2+…+ktβt
=α+k1(γ1-α)+k2(γ2-α)+…+kt(γt-α)
=(1-k1-k2-…-kt)α+k2γ1+k2γ2+…+ktγt ④
令l0=1-k1-k2…-kt，l1=k1，l2=k2，…，lt=kt. 式④可表示为
γ=l0α+l1γ1+l2γ2+…+ltγt且l0+l1+l2+…+lt=1.
【答案解析】[考点] 非齐次线性方程的解与其导出组的基础解系的关系