设A=E－αα
T
，其中α为n维非零列向量．证明：
问答题
A
2
=A的充分必要条件是α为单位向量；
【正确答案】正确答案：令α
T
α=k，则A
2
=(E－αα
T
)(E－αα
T
)=E－2αα
T
+kαα
T
，因为α为非零向量，所以αα
T
≠O，于是A
2
=A的充分必要条件是k=1，而α
T
α=‖α‖
2
，所以A
2
=A的充要条件是α为单位向量．
【答案解析】
问答题
当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
【正确答案】正确答案：当α是单位向量时，由A
2
=A得r(A)+r(E－A)=n，因为E－A=αα
T
≠O，所以r(E－A)≥1，于是r(A)≤n－1＜n，故A是不可逆矩阵．
【答案解析】