设矩阵A＝(α
1
，α
2
，α
3
)，线性方程组Aχ＝β的通解是(1，－2，0)
T
＋k(2，1，1)
T
，若B＝(α
1
，α
2
，α
3
，β－5α
3
)，求方程组By＝β＋α
3
的通解．
【正确答案】正确答案：由方程组Aχ＝β的解的结构，知 (α
1
，α
2
，α
3
)
＝β，(α
1
，α
2
，α
3
)
＝0， 即α
1
－2α
2
＝β，2α
1
＋α
2
＋α
3
＝0． 且n－r(a)＝1，即r(A)＝r(α
1
，α
2
，α
3
)＝3－1＝2．那么 r(B)＝r(α
1
，α
2
，α
3
，β－5α
3
)＝r(α
1
，α
2
，α
3
，α
1
－2α
2
－5α
3
)＝r(α
1
，α
2
，α
3
)＝2． 因此，4元方程组By＝β＋α
3
的通解形式为：α＋k
1
η
1
＋k
2
η
2
． 由
＝(α
1
，α
2
，α
3
，α
1
－2α
2
－5α
3
)
＝α
1
－2α
2
＋α
3
＝β＋α
3
， 知α＝(1，－2，1，0)
T
是By＝β＋α
3
的解． 又由B
＝(α
1
，α
2
，α
3
，β－5α
3
)
＝2α
1
＋α
2
＋α
3
＝0， B
＝(α
1
，α
2
，α
3
，α
1
－2α
2
－5α
3
)
＝β，(α
1
，α
2
，α
3
)
＝0， 即α
1
－2α
2
＝β，2α
1
＋α
2
＋α
3
＝0． 且n－r(a)＝1，即r(A)＝r(α
1
，α
2
，α
3
)＝3－1＝2．那么 r(B)＝r(α
1
，α
2
，α
3
，β－5α
3
)＝r(α
1
，α
2
，α
3
，α
1
－2α
2
－5α
3
)＝r(α
1
，α
2
，α
3
)＝2． 因此，4元方程组By＝β＋α
3
的通解形式为：α＋k
1
η
1
＋k
2
η
2
． 由
＝(α
1
，α
2
，α
3
，α
1
－2α
2
－5α
3
)
＝α
1
－2α
2
＋α
3
＝β＋α
3
， 知α＝(1，－2，1，0)
T
是By＝β＋α
3
的解． 又由B
＝(α
1
，α
2
，α
3
，β－5α
3
)
＝2α
1
＋α
2
＋α
3
＝0， B
＝(α
1
，α
2
，α
3
，α
1
－2α
2
－5α
3
)
【答案解析】