设η 1 ,η 2 ,η 3 为3个n维向量,AX=0是n元齐次方程组。则( )正确.
【正确答案】 D
【答案解析】解析:(A)缺少n—r(A)=3的条件. (B)缺少η 1 ,η 2 ,η 3 线性无关的条件. (C)例如η 1 ,η 2 是基础解系η 123 ,则η 1 ,η 2 ,η 3 和η 1 ,η 2 等价,但是η 1 ,η 2 ,η 3 不是基础解系. 要说明(D)的正确性,就要证明η 1 ,η 2 ,η 3 都是AX=0的解,并且线性无关.方法如下: 设α 1 ,α 2 ,α 3 是AX=0的一个基础解系,则由条件,α 1 ,α 2 ,α 3 可以用η 1 ,η 2 ,η 3 线性表示,于是 3≥r(η 1 ,η 2 ,η 3 )=r(η 1 ,η 2 ,η 31 ,α 2 ,α 3 )≥r(α 1 ,α 2 ,α 3 )=3, 则 r(η 1 ,η 2 ,η 3 )=r(η 1 ,η 2 ,η 3 ,α 1 ,α 2 ,α 3 )=r(α 1 ,α 2 ,α 3 )=3, 于是η 1 ,η 2 ,η 3 线性无关,并且和α 1 ,α 2 ,α 3 等价,从而都是AX=0的解.