解答题
18.[2015年] 已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x2+y2+xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数．
【正确答案】易求得f'x(x，y)=1+y，f'y(x，y)=1+x，故gradf(x，y)=(1+y，1+x)，
为求其在约束条件x2+y2+xy=3下的最大值，转化为求z=(1+y)2+(1+x)2在约束条件下的最大值．为此，构造拉格朗日函数：
F(x，y，λ)=(1+y)2+(1+x)2+λ(x2+y2+xy一3)．
令
由式①、式②分别得
由
，得
(y—x)(1一y一x)=0．
当y=x时，将其代入式③，得到x2=1，即x=±1，则y=x=±1．于是得到可能的最大值点为A1(1，1)，A2(一1，-1)．
当1一y—x=0，即y=1—x时，代入式③，得到(x一2)(x+1)=0．如x=2，则y=1—2=一1；如x=一1，则y=2．于是又得到两个可能的最大值点A3(2，一1)，A4(一1，2)．
综上所述，在点A1，A2，A3，A4处函数z，亦即
可能取得最大值．将其坐标代入｜gradf(x，y)｜，得
为求其在约束条件x2+y2+xy=3下的最大值，转化为求z=(1+y)2+(1+x)2在约束条件下的最大值．为此，构造拉格朗日函数：
F(x，y，λ)=(1+y)2+(1+x)2+λ(x2+y2+xy一3)．
令
由式①、式②分别得
由，得(y—x)(1一y一x)=0．
当y=x时，将其代入式③，得到x2=1，即x=±1，则y=x=±1．于是得到可能的最大值点为A1(1，1)，A2(一1，-1)．
当1一y—x=0，即y=1—x时，代入式③，得到(x一2)(x+1)=0．如x=2，则y=1—2=一1；如x=一1，则y=2．于是又得到两个可能的最大值点A3(2，一1)，A4(一1，2)．
综上所述，在点A1，A2，A3，A4处函数z，亦即
可能取得最大值．将其坐标代入｜gradf(x，y)｜，得【答案解析】