问答题
已知n维向量α
1
，α
2
，α
3
线性无关，且向量β可由α
1
，α
2
，α
3
中的任何两个向量线性表出，证明β=0．
【正确答案】
【答案解析】[证法一] 因为β可由α
1
，α
2
，α
3
中的任何两个向量线性表出，故可设
β=x 1 α 1 +x 2 α 2 ， ①
β= y 2 α 2 +y 3 α 3 ， ②
β=z 1 α 1 +z 3 α 3 ， ③
①-②：x 1 α 1 +(x 2 -y 2 )α 2 -y 3 α 3 =0，
①-③：(x 1 -z 1 )α 1 +x 2 α 2 -z 3 α 3 =0．
因为α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，所以
x 1 =0，x 2 -y 2 =0，y 3 =0，x 1 -z 1 =0，x 2 =0，z 3 =0．
从而x 1 =x 2 =y 2 =y 3 =z 1 =z 3 =0．
故β=0．
[证法二] 用反证法．如果β≠0，设β=c 1 α 1 +c 2 α 2 ，c 1 ，c 2 不能全为0，不妨设c 1 ≠0，则α 1 =
β=x 1 α 1 +x 2 α 2 ， ①
β= y 2 α 2 +y 3 α 3 ， ②
β=z 1 α 1 +z 3 α 3 ， ③
①-②：x 1 α 1 +(x 2 -y 2 )α 2 -y 3 α 3 =0，
①-③：(x 1 -z 1 )α 1 +x 2 α 2 -z 3 α 3 =0．
因为α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，所以
x 1 =0，x 2 -y 2 =0，y 3 =0，x 1 -z 1 =0，x 2 =0，z 3 =0．
从而x 1 =x 2 =y 2 =y 3 =z 1 =z 3 =0．
故β=0．
[证法二] 用反证法．如果β≠0，设β=c 1 α 1 +c 2 α 2 ，c 1 ，c 2 不能全为0，不妨设c 1 ≠0，则α 1 =