【正确答案】先利用已知Q的第1列的条件求出参数a及对应的特征值，再将A进行正交相似对角化．
已知A的一个特征向量ξ₁=[1，2，1]^T，可求参数a及ξ₁对应的特征值λ₁．事实上，由Aξ₁=λ₁ξ₁得到

亦即=2λ₁，解得
下面求化A为对角矩阵的正交变换矩阵Q．为此，先求A的特征值及其对应的线性无关的特征向量．
由A=及∣λE—A∣==0得到

=(λ+4)[(λ一3)(λ一4)一2]
=(λ+4)(λ一5)(λ一2)．
故A的特征值为λ₁=2，λ₂=一4，λ₃=5．
解(λ₂E—A)X=，即得
属于λ₂=一4的特征向量为ξ₂=[一1，0，1]^T．
解(λ₂E一A)X=，即得属
于λ₃=5的特征向量为ξ₃=[1，一1，1]^T．
又因A为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量ξ₁，ξ₂，ξ₃相互正交，将其单位化得到
η₁=[1，2，1]^T， η₂=[一1，0，1]^T， η₃=．[1，一1，1]^T．
取Q=[η₁，η₂，η₃]=，则Q^TAQ=