问答题
设
问答题
计算A
2
，并将A
2
用A和E表出；
【正确答案】
【答案解析】【解】
令
得
令
得
问答题
设A是二阶方阵，当k＞2时，证明：A
k
=O的充分必要条件为A
2
=O．
【正确答案】
【答案解析】【解】充分性
k＞2，显然成立；
必要性 方法一
由(1)知A
2
=(a+d)A，于是A
k
=((a+d)
k-1
A=O，故A=O或a+d=0，从而有A
2
=(a+d)A=O．
方法二 A是2阶矩阵，|A|=0，故r(A)≤1．
若r(A)=0，则A=O，从而A 2 =O；
若r(A)=1，则A=αβ T ，A 2 =αβ T αβ T =(β T α)A，其中α，β为非零二维列向量．
k＞2，显然成立；
必要性 方法一
由(1)知A
2
=(a+d)A，于是A
k
=((a+d)
k-1
A=O，故A=O或a+d=0，从而有A
2
=(a+d)A=O．
方法二 A是2阶矩阵，|A|=0，故r(A)≤1．
若r(A)=0，则A=O，从而A 2 =O；
若r(A)=1，则A=αβ T ，A 2 =αβ T αβ T =(β T α)A，其中α，β为非零二维列向量．