问答题
设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成，过z轴上任意点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径
【正确答案】要明确题中所出现的各个物理量之间的关系，并能用积分或导数表示其关系，以及它们所满足的微分方程．
由题设知
其中S(z)是水面D(z)的面积，且
S(z)=π[z2+(1-z)2]，
现由
及z(0)=0，求z(t)
将上式两边对t求导，由复合函数求导法则得
即
两边积分并注意z(0)=0，得
(*)
(Ⅱ)求z取何值时，
取最大值．已求得
因此，求
取最大值时，z的取值归结为求
f(z)=z2+(1-z)2
在[0，1]上的最小值．由
得在z=1/2处f(x)在[0，1]上取最小值，故z=1/2时，水表面上升速度最大．
(Ⅲ)归结求容器的容积，即
因此，灌满容器所需时间为
或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在(*)式中令z=1得
，即
由题设知
其中S(z)是水面D(z)的面积，且
S(z)=π[z2+(1-z)2]，
现由
及z(0)=0，求z(t)将上式两边对t求导，由复合函数求导法则得
即
两边积分并注意z(0)=0，得
(*)(Ⅱ)求z取何值时，
取最大值．已求得因此，求
取最大值时，z的取值归结为求f(z)=z2+(1-z)2
在[0，1]上的最小值．由
得在z=1/2处f(x)在[0，1]上取最小值，故z=1/2时，水表面上升速度最大．
(Ⅲ)归结求容器的容积，即
因此，灌满容器所需时间为
或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在(*)式中令z=1得
，即【答案解析】