问答题
设f(x)，f(x)在x=x
0
都是可导的，又F(x)=f(x)|g(x)|．求证：
(Ⅰ)若g(x 0 )≠0，则F(x)在x=x 0 处可导；
(Ⅱ)若g(x 0 )=0，则F(x)在x=x 0 处可导的充要条件是f(x 0 )=0或g"(x 0 )=0.这时必有F"(x 0 )=0.
(Ⅰ)若g(x 0 )≠0，则F(x)在x=x 0 处可导；
(Ⅱ)若g(x 0 )=0，则F(x)在x=x 0 处可导的充要条件是f(x 0 )=0或g"(x 0 )=0.这时必有F"(x 0 )=0.
【正确答案】
【答案解析】[证明] g(x)连续
连续．但g(x)可导
可导．当|g(x)|可导，由可导性运算法则知F(x)可导，当|g(x)|不可导(或不知是否可导时)，则按定义考察F(x)的可导性．
(Ⅰ)若
(或g(x
0
)＜0)，由g(x)在x=x
0
连续
当x∈(x 0 -δ，x 0 +δ)时g(x)＞0(或g(x)＜0)，
于是
与g(x)在x=x
0
有相同的可导性，即|g(x)|在x=x
0
可导，
从而F(x)=f(x)|g(x)|在x=x 0 可导．
(Ⅱ)若g(x 0 )=0.按定义考察F(x)在x=x 0 的可导性．
于是要分别考察
因此
f(x 0 )|g"(x 0 )|=-f(x 0 )|g"(x 0 )|
连续．但g(x)可导
可导．当|g(x)|可导，由可导性运算法则知F(x)可导，当|g(x)|不可导(或不知是否可导时)，则按定义考察F(x)的可导性．
(Ⅰ)若
(或g(x
0
)＜0)，由g(x)在x=x
0
连续
当x∈(x 0 -δ，x 0 +δ)时g(x)＞0(或g(x)＜0)，
于是
与g(x)在x=x
0
有相同的可导性，即|g(x)|在x=x
0
可导，
从而F(x)=f(x)|g(x)|在x=x 0 可导．
(Ⅱ)若g(x 0 )=0.按定义考察F(x)在x=x 0 的可导性．
于是要分别考察
因此
f(x 0 )|g"(x 0 )|=-f(x 0 )|g"(x 0 )|