解答题
17.设A为三阶实对称矩阵，其特征值为λ1＝0，λ2＝λ3＝1，α1，α2为A的两个不同特征向量，且A(α1＋α2)＝α2．
(Ⅰ)证明：α1，α2正交．
(Ⅱ)求AX＝α2的通解．
(Ⅰ)证明：α1，α2正交．
(Ⅱ)求AX＝α2的通解．
【正确答案】(Ⅰ)若α1，α2是属于特征值λ1＝0的特征向量，则A(α1＋α2)＝Aα1＋Aα2＝0≠α2，矛盾；
若α1，α2是属于特征值λ2＝λ3＝1的特征向量，则A(α1＋α2)＝Aα1＋α2＝α1＋α2≠α2，矛盾，
从而α1，α2是分属于两个不同特征值对应的特征向量，
因为A是实对称矩阵，所以α1，α2正交．
(Ⅱ)因为A相似于
若α1，α2是属于特征值λ2＝λ3＝1的特征向量，则A(α1＋α2)＝Aα1＋α2＝α1＋α2≠α2，矛盾，
从而α1，α2是分属于两个不同特征值对应的特征向量，
因为A是实对称矩阵，所以α1，α2正交．
(Ⅱ)因为A相似于
【答案解析】