问答题
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)，其中c是(a，b)内的一点，且在[a，b]内的任何区间I上f(x)不恒等于常数．求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)＜0．
【正确答案】
【答案解析】[分析与证明一] 由题设知，可在[a，c]上和[c，b]上分别对f(x)用罗尔定理，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)使f"(α)=f"(β)=0，但f(x)在[α，β]上不恒等于常数，从而f"(x)≠0．这表明g(x)=f"(x)在[α，β]上可导，不恒等于常数且g(α)=g(β)=0．为证明本题的结论，只需证明在(α，β)内至少存在一点ξ使g"(ξ)＜0即可．
由题设知f(x)在[a，c]上和[c，b]上分别满足罗尔定理的条件，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)使f"(α)=f"(β)=0．
令g(x)=f"(x)，由题设及上面所得结果知g(x)是在[α，β]上可导但不恒等于常数的函数，且g(α)=g(β)=0．
若
使g(γ)＞0，在[γ，β]上把拉格朗日定理用于g(x)可得：
ξ∈(γ，β)使
否则，必
η∈(α，β)使g(η)＜0，在[α，η]上把拉格朗日定理用于g(x)也可得：
ξ∈(α，η)使
综合即得，在(α，β)内即在(a，b)内至少存在一点ξ，使g"(ξ)=f"(ξ)＜0．
[分析与证明二] 如同前面所述，
[α，β]
(a，b)，f"(x)在[α，β]不恒为零，且f"(α)=f"(β)=0．现用反证法．若在(a，b)内不
使得f"(ξ)＜0，则f"(x)≥0(x∈(a，b))
f"(x)在(a，b)单调不减，
，α≤x≤β，有0=f"(α)≤f"(x)≤f"(β)=0
f"(x)=0(
x∈[α，β])，与在[α，β]上f"(x)≠0矛盾了．因此
由题设知f(x)在[a，c]上和[c，b]上分别满足罗尔定理的条件，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)使f"(α)=f"(β)=0．
令g(x)=f"(x)，由题设及上面所得结果知g(x)是在[α，β]上可导但不恒等于常数的函数，且g(α)=g(β)=0．
若
使g(γ)＞0，在[γ，β]上把拉格朗日定理用于g(x)可得：
ξ∈(γ，β)使
否则，必
η∈(α，β)使g(η)＜0，在[α，η]上把拉格朗日定理用于g(x)也可得：
ξ∈(α，η)使
综合即得，在(α，β)内即在(a，b)内至少存在一点ξ，使g"(ξ)=f"(ξ)＜0．
[分析与证明二] 如同前面所述，
[α，β]
(a，b)，f"(x)在[α，β]不恒为零，且f"(α)=f"(β)=0．现用反证法．若在(a，b)内不
使得f"(ξ)＜0，则f"(x)≥0(x∈(a，b))
f"(x)在(a，b)单调不减，
，α≤x≤β，有0=f"(α)≤f"(x)≤f"(β)=0
f"(x)=0(
x∈[α，β])，与在[α，β]上f"(x)≠0矛盾了．因此