问答题
设α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
≠0，A=αα
T
，求可逆阵P，使P
-1
AP=Λ．
【正确答案】
【答案解析】先求A的特征值．
方法一 利用特征值的定义．
设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则
Aξ=αα T ξ=λξ． ①
若α T ξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0；
若α T ξ≠0，①式两端左乘α T ，
α T αα T ξ=(α T α)α T ξ=λ(α T ξ)．
因α T ξ≠0，故
方法二 利用
及特征值定义．
①式两端左乘A，得
方法三 利用
A及特征方程|λE-A|=0．
因
两边取行列式
得A的特征值λ=0或
方法四 直接用A的特征方程
得A的特征值为
(2)再求A的对应于λ的特征向量．
方法一 当λ=0时，
即解方程 a 1 x 1 +a 2 x 2 +…+a n x n =0，得特征向量为(设a 1 ≠0)
ξ 1 =[a 2 ，-a 1 ，0，…，0] T ，
ξ 2 =[a 3 ，0，-a 1 ，…，0] T ，
……
ξ n-1 =[a n ，0，0，…，-a 1 ] T ．
当
时，
由观察知ξ n =[a 1 ，a 2 ，…，a n ] T ．
方法二 因为A=αα T ，λ=0时，(λE-A)X=-αα T X=0，因为满足α T X=0的X必满足αα T X=0，故λ=0时，对应的特征方程是a 1 x 1 +a 2 x 2 +…+a n x n =0．对应λ=0的n-1个特征向量为
ξ 1 =[a 2 ，-a 1 ，0，…，0] T ，
ξ 2 =[a 3 ，0，-a 1 ，…，0] T ，
……
ξ n-1 =[a n ，0，0，…，-a 1 ] T ．
对特征矩阵λE-A=α
T
αE-αα
T
右乘α，得
(λE-A)α=(α T αE-αα T )α=(α T α)α-α(α T α)=0，
故知α=[a 1 ，a 2 ，…，a n ] T 即是所求ξ n ．
(3)由ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n ，得可逆阵P．
且
方法一 利用特征值的定义．
设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则
Aξ=αα T ξ=λξ． ①
若α T ξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0；
若α T ξ≠0，①式两端左乘α T ，
α T αα T ξ=(α T α)α T ξ=λ(α T ξ)．
因α T ξ≠0，故
方法二 利用
及特征值定义．
①式两端左乘A，得
方法三 利用
A及特征方程|λE-A|=0．
因
两边取行列式
得A的特征值λ=0或
方法四 直接用A的特征方程
得A的特征值为
(2)再求A的对应于λ的特征向量．
方法一 当λ=0时，
即解方程 a 1 x 1 +a 2 x 2 +…+a n x n =0，得特征向量为(设a 1 ≠0)
ξ 1 =[a 2 ，-a 1 ，0，…，0] T ，
ξ 2 =[a 3 ，0，-a 1 ，…，0] T ，
……
ξ n-1 =[a n ，0，0，…，-a 1 ] T ．
当
时，
由观察知ξ n =[a 1 ，a 2 ，…，a n ] T ．
方法二 因为A=αα T ，λ=0时，(λE-A)X=-αα T X=0，因为满足α T X=0的X必满足αα T X=0，故λ=0时，对应的特征方程是a 1 x 1 +a 2 x 2 +…+a n x n =0．对应λ=0的n-1个特征向量为
ξ 1 =[a 2 ，-a 1 ，0，…，0] T ，
ξ 2 =[a 3 ，0，-a 1 ，…，0] T ，
……
ξ n-1 =[a n ，0，0，…，-a 1 ] T ．
对特征矩阵λE-A=α
T
αE-αα
T
右乘α，得
(λE-A)α=(α T αE-αα T )α=(α T α)α-α(α T α)=0，
故知α=[a 1 ，a 2 ，…，a n ] T 即是所求ξ n ．
(3)由ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n ，得可逆阵P．
且