解答题
4.设f(x1，x2，x3)=4x22-3x32-4x1x3+4x1x2+8x2x3。
(Ⅰ)写出二次型的矩阵形式；
(Ⅱ)用正交变换法求二次型的标准形，并写出正交阵。
(Ⅰ)写出二次型的矩阵形式；
(Ⅱ)用正交变换法求二次型的标准形，并写出正交阵。
【正确答案】(Ⅰ)令A=
，则f(x1，x2，x3)=xTAx。
(Ⅱ)由二次型矩阵的特征方程｜λE-A｜=
=(λ+6)(λ-1)(λ-6)=0，
解得特征值λ1=-6，λ2=1，λ3=6。
当λ1=-6时，由(-6E-A)x=0，得特征向量ξ1=
当λ2=1时，由(E-A)x=0，得特征向量ξ2=
当λ3=6时，由(6E-A)x=0，得特征向量ξ3=
由施密特正交化方法得
令Q=
，则QTAQ=
，于是有
f(x1，x2，x3)=xTAx
，则f(x1，x2，x3)=xTAx。(Ⅱ)由二次型矩阵的特征方程｜λE-A｜=
=(λ+6)(λ-1)(λ-6)=0，解得特征值λ1=-6，λ2=1，λ3=6。
当λ1=-6时，由(-6E-A)x=0，得特征向量ξ1=
当λ2=1时，由(E-A)x=0，得特征向量ξ2=
当λ3=6时，由(6E-A)x=0，得特征向量ξ3=
由施密特正交化方法得
令Q=
，则QTAQ=，于是有f(x1，x2，x3)=xTAx
【答案解析】