设A,B均是n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n,证明A,B有公共的特征向量.
【正确答案】正确答案:设r(A)=r,r(B)=s,且α 1 ,α 2 ,…,α n-r 是齐次方程组Ax=0的基础解系,即矩阵A关于λ=0的特征向量,同理,β 1 ,β 2 ,…β n-s 是B关于λ=0的特征向量.那么,向量组α 1 ,α 2 ,…α n-r ,β 1 ,β 2 ,…,β n-s 必然线性相关(由于n-r+n-s=n+(n-r-s)>n). 于是存在不全为零的实数k 1 ,k 2 ,…,k n-r ,l 2 ,…,l n-s ,使 k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k n-r α n-r +l 1 β 1 +l 2 β 2 +…+l n-s β n-s =0. 因为α 1 ,α 2 ,…α n-r 线性无关,β 1 ,β 2 ,…,β n-s 线性无关,所以k 1 ,k 2 ,…,k n-r 与l 1 ,l 2 ,…,l n-s 必分 别不全为零,令 γ=k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k n-r α n-r +…=-(l 1 β 1 +l 2 β 2 +…+l n-s β n-s ). 由γ≠0,从特征向量性质知,γ既是A关于λ=0的特征向量,也是B关于λ=0的特征向量,因而A,B有公共的特征向量.
【答案解析】