选择题
8.[2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．
【正确答案】
B
【答案解析】解一 首先注意α1，α2线性无关．在推导α1，A(α1+α2)线性无关的条件时要用到它．
设k1α1+k2A(α1+α2)=0，则k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0．因α1，α2线性无关，故k1+k2λ1=0，k2λ2=0．当λ2≠0时，有k2=0，从而k1=0．于是当λ2≠0时，α1，A(α1+α2)线性无关．
反之，若α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2线性无关，则必有λ2≠0．因为如果λ2=0，则α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关与题设矛盾．综上所述，仅(B)入选．
解二 因向量组α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2可看成线性无关向量α1，α2的线性组合，且
[α1，A(α1+α2)]=[α1，λ1α1+λ2α2]=[α1，α2]
由命题2．3．2．2知，向量组α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是
的秩等于2，而秩
故仅(B)入选．
(注：命题2．3．2．2 设向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βs为该向量组的线性组合：
即
其中A=[aij]s×t称为线性表示的系数矩阵．或
则向量组β1，β2，…，βt线性无关
设k1α1+k2A(α1+α2)=0，则k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0．因α1，α2线性无关，故k1+k2λ1=0，k2λ2=0．当λ2≠0时，有k2=0，从而k1=0．于是当λ2≠0时，α1，A(α1+α2)线性无关．
反之，若α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2线性无关，则必有λ2≠0．因为如果λ2=0，则α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关与题设矛盾．综上所述，仅(B)入选．
解二 因向量组α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2可看成线性无关向量α1，α2的线性组合，且
[α1，A(α1+α2)]=[α1，λ1α1+λ2α2]=[α1，α2]
由命题2．3．2．2知，向量组α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是
的秩等于2，而秩故仅(B)入选．(注：命题2．3．2．2 设向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βs为该向量组的线性组合：
即
其中A=[aij]s×t称为线性表示的系数矩阵．或
则向量组β1，β2，…，βt线性无关