【正确答案】正确答案：首先从AX =β的通解为(1，2，2，1) ^T +c（1，—2，4，0） ^T 可得到下列讯息： ①Ax =0的基础解系包含1个解，即4— r(A)=1，得r(A)=3．即r（α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ）=3． ②(1，2，2，1) ^T 是Ax =β解，即α ₁ +2α ₂ +2α ₃ +α ₄ =β． ③（1，—2，4，0） ^T 是Ax=0解，即α ₁ — 2α ₂ +4α ₃ =0．α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性相关，r（α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ）=2． 显然B（0，—1，1，0） ^T =α ₁ —α ₂ ，即（0，—1，1，0） ^T 是Bx=α ₁ —α ₂ 的一个解． 由②，B=（α ₃ ，α ₂ ，α ₁ ，β— α ₄ ）=（α ₃ ，α ₂ ，α ₁ ，α ₁ +2α ₂ +2α ₃ ），于是 r（B）= r(α ₃ ，α ₂ ，α ₁ ，α ₁ +2α ₂ +2α ₃ )=r(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ )=2． 则Bx =0的基础解系包含解的个数为4— r(B)=2个，α ₁ — 2α ₂ +4α ₃ =0说明（4，—2，1，0） ^T 是Bx =0的解；又从B=（α ₃ ，α ₂ ，α ₁ ，α ₁ +2α ₂ +2α ₃ ）容易得到B（—2，—2，—1，1） ^T =0，说明（—2，—2，—1，1） ^T 也是Bx =0的解，于是（4，—2，1，0） ^T 和（—2，—2，—1，1） ^T 构成Bx=0的基础解系． Bx=α ₁ —α ₂ 的通解为： (0，— 1，1，0) ^T +c ₁ (4，—2，1，0) ^T +c ₂ (— 2， — 2， — 1，1) ^T ， c ₁ ，c ₂ 任意．