单选题
设f(x)在区间(0，+∞)上可导，下列命题
①若f(x)在(0，+∞)上无界，则f'(x)在(0，+∞)上有界．
②若f'(x)在(0，+∞)上无界，则f(x)在(0，+∞)上有界．
③若f(x)在(0，+∞)上无界，则f'(x)在(0，+∞)上无界．
④若f'(x)在(0，+∞)上无界，则f(x)在(0，+∞)上无界．
正确的个数
- A.0个．
- B.1个．
- C.2个．
- D.至少3个．
【正确答案】
A
【答案解析】[解析] 举例说明没有一个是正确的．
①的反例：f(x)=ex，x∈(0，+∞)，f(x)在(0，+∞)上无界，f'(x)=ex在(0，+∞)上并不有界，①不正确．
②f'(x)=ex在(0，+∞)上无界，f(x)=ex在(0，+∞)上并不有界．
③[*](有界函数乘无穷小量)．
[*]
所以f(x)在(0，+∞)上无界．但[*]，因[*]，[*]在x=0附近振荡于1与-1之间，所以f'(x)有界，所以③不正确．
④f'(x)=2xcosx2，在(0，+∞)上无界，f(x)=sinx2在(0，+∞)上有界．
由以上4个例子说明，在无穷区间(0，+∞)上，以f(x)无界为条件，推不出f'(x)在(0，+∞)上必有界或必无界；在无穷区间(0，+∞)上，以f'(x)无界为条件，也推不出f(x)在(0，+∞)上必有界或必无界．