【正确答案】正确答案：设x为Ax=b的任一解，由题设知η ₁ ，η ₂ ，…，η _n—r+1 线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ ₁ =η ₂ 一η ₁ ，ξ ₂ =η ₃ 一η ₁ ，…，ξ _n—r =η _n—r 一η ₁ ，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证： 设ξ ₁ ，ξ ₂ ，…，ξ _n—r 线性相关，则存在不全为零的数l ₁ ，l ₂ ，…，l _n—r ，使得 l ₁ ξ ₁ +l ₂ ξ ₂ +…+l _n—r ξ _n—r =0， 即 l ₁ （η ₂ 一η ₁ ）+l ₂ （η ₃ 一η ₁ ）+…+l _n—r （η _n—r+1 一η ₁ ）=0， 也即 一（l ₁ +l ₂ +…+l _n—r ）η ₁ +l ₁ η ₂ +l ₂ η ₃ +…+l _n—r η _n—r+1 =0。 由η ₁ ，η ₂ ，…，η _n—r+1 线性无关知 一（l ₁ +l ₂ +…+l _n—r ）=l ₁ =l ₂ =…=l _n—r =0， 这与l ₁ ，l ₂ ，…，l _n—r 不全为零矛盾，故假设不成立。因此ξ ₁ ，ξ ₂ ，…，ξ _n—r 线性无关，是Ax=0的基础解系。 由于x，η ₁ 均为Ax=b的解，所以x一η ₁ 为Ax=0的解，因此x一η ₁ 可由ξ ₁ ，ξ ₂ ，…，ξ _n—r ，线性表示，设 x一η ₁ =k ₂ ξ ₁ +k ₃ ξ ₂ +…+k _n—r+1 ξ _n—r =k ₂ （η ₂ 一η ₁ ）+k ₃ （η ₃ 一η ₁ ）+…+k _n—r+1 （η _n—r+1 一η ₁ ）， 则x=η ₁ （1一k ₂ 一k ₃ 一…一k _n—r+1 ）+k ₂ η ₂ +k ₃ η ₃ +…+k _n—r+1 η _n—r+1 ， 令k ₁ =1一k ₂ 一k ₃ 一…一k _n—r+1 ，则k ₁ +k ₂ +k ₃ +…+k _n—r+1 =1，从而 x=k ₁ η ₁ +k ₂ η ₂ +…+k _n—r+1 η _n—r+1 恒成立。