【正确答案】解：令，解得x=0， 当x＞0时，f'(x)＜0，故[0，+∞)为函数f(x)的单调减区间； 当x＜0时，f'(x)＞0，故(-∞，0)为函数f(x)的单调增区间。 当x=0时，函数f(x)取得最大值为0。

【正确答案】解：①由上一小题知函数f(x)在x=0处取得最大值， 所以f(x)≤0，即ln(1+x)-x≤0， 假设。 ②g(x)=xlnx，g'(x)=lnx+1，， 当x＞0时，g(x)在(0，+∞)上是上凹的， 所以当a≠b时，不妨设a＜b，于是有， 从而 整理得， 也就是g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)-g(b)， 当a=b时，显而易见取等号， 故g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)-g(b)。