设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
f(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f(ξ)=0．
【正确答案】正确答案：首先证明f(x)在(0，π)内必有零点． 因为在(0，π)内f(x)连续，且sinx＞0，所以，若无零点，则恒有f(x)＞0或f(x)＜0，从而有∫
0
π
f(x)sinxdx＞0或∫
0
π
f(x)sinxdx＜0，与题设矛盾．所以f(x)在(0，π)内必有零点． 下面证明f(x)在(0，π)内零点不唯一，即至少有两个零点． 用反证法．假设f(x)在(0，π)内只有一个零点x
0
，则f(x)在(0，x
0
)和(x
0
，π)上取不同的符号(且不等于零)，否则与∫
0
π
f(x)sinxdx=0矛盾．这样，函数sin(x－x
0
)f(x)在(0，x
0
)和(x
0
，π)上取相同的符号，即恒正或恒负． 那么有：∫
0
π
f(x)sin(x－x
0
)dx≠0．但是 ∫
0
π
f(x)sin(x－x
0
)dx=∫
0
π
f(x)(sinxcosx
0
－cosxsinx
0
)dx =cosx
0
∫
0
π
f(x)sinxdx－sinx
0
∫
0
π
f(x)cosxdx=0． 从而矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．于是由罗尔定理即得存在ξ∈(0，π)，使得fˊ(ξ)=0．
【答案解析】