设f(a，b)在[a，b]上二阶可导，f(a)＝f(b)＝0．证明至少存在一点ξ∈(a，b)使得｜f〞(ξ)｜≥
【正确答案】正确答案：f(χ)在[a，b]上连续，｜f(χ)｜在[a，b]上亦连续，设c为｜f(χ)｜在[a，b]上的最大值点．若c＝a，则f(χ)＝0，结论显然成立．故可设a＜c＜b，从而任给χ∈(a，b)，有｜f(χ)｜f≤｜f(c)｜，即－｜f(c)｜≤f(χ)≤｜f(c)｜． 若f(c)＞0，则f(χ)≤f(c)，从而f(c)为f(χ)的最大值；若f(c)＜0，则有f(χ)≥f(c)，即f(c)为f(χ)的最小值，由此可知，总有f′(c)＝0． 把函数f(χ)在χ＝c展开为泰勒公式，得 f(χ)＝f(c)＋f′(c)(χ－c)＋
(χ－c)
2
＝f(c)＋
(χ－c)
2
． (*) 若a＜c≤
，令χ＝a，则由(*)及题设有 f(a)＝f(c)＋
(a－c)
2
，即｜f(c)｜＝
(a－c)
2
． 由于a＜c≤
，0＜c－a≤
，因此 ｜f(c)｜＝
于是｜f〞(ξ)｜≥
｜f(χ)｜ 若
＜c＜b，令χ＝b，则由(*)及题设有 f(b)＝f(c)＋
(b－c)
2
，即｜f(c)｜＝
(b－c)
2
． 由于
＜c＜b，b－c＜b－
，因此
(χ－c)
2
＝f(c)＋
(χ－c)
2
． (*) 若a＜c≤
，令χ＝a，则由(*)及题设有 f(a)＝f(c)＋
(a－c)
2
，即｜f(c)｜＝
(a－c)
2
． 由于a＜c≤
，0＜c－a≤
，因此 ｜f(c)｜＝
于是｜f〞(ξ)｜≥
｜f(χ)｜ 若
＜c＜b，令χ＝b，则由(*)及题设有 f(b)＝f(c)＋
(b－c)
2
，即｜f(c)｜＝
(b－c)
2
． 由于
＜c＜b，b－c＜b－
，因此
【答案解析】