问答题
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3个小时内，融化了其体积的
【正确答案】本题是考查利用微分方程对问题建立数学模型，再求解微分方程，其中以时间t作为自变量来建立微分方程，但依未知函数的不同选择而有以下两种方法：
(1)以半径r为未知函数，雪堆在时刻t的体积
，侧面积S=2πr2，由题设知
化简上式即可得到以r为未知函数的微分方程，
，解之得r=-kt+C，由初始条件r|t=0=r0，可得出C=r0，所以r=r0-kt又由已知
，
从而
，可求出
，因此
，
雪堆全部融化时r=0，从而
，得t=6，即全部融化需6小时．
(2)以雪堆体积V为未知函数，在时刻t，
，侧面积s=2π2，即
，由题设，
，
此即以V为未知函数的微分方程，分离变量得
，
两边积分得
．
由已知，当t=0时，
；当t=3时，
，
代入上式分别得到
，
联立此二式可解出
，从而有
(1)以半径r为未知函数，雪堆在时刻t的体积
，侧面积S=2πr2，由题设知化简上式即可得到以r为未知函数的微分方程，
，解之得r=-kt+C，由初始条件r|t=0=r0，可得出C=r0，所以r=r0-kt又由已知，从而
，可求出，因此，雪堆全部融化时r=0，从而
，得t=6，即全部融化需6小时．(2)以雪堆体积V为未知函数，在时刻t，
，侧面积s=2π2，即，由题设，，此即以V为未知函数的微分方程，分离变量得
，两边积分得
．由已知，当t=0时，
；当t=3时，，代入上式分别得到
，联立此二式可解出
，从而有【答案解析】[考点] 微分方程