设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y＇－Y=(4－6x)e
－x
的一个解，且
(I)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．
(I)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．
【正确答案】正确答案：(I)2y"+y＇－y=(4—6x)e
－x
的特征方程为2λ
2
+λ－1=0，特征值为λ
1
=－1，λ
2
=
2y"+y＇－y=0的通解为
令2y"+y＇－y=(4－6x)e
－x
的特解为y
0
=(ax
2
+bx)e
－x
，代入得a=1，b=0， 原方程的通解为
由
得y(0)=0，y＇(0)=0，代入通解得C
1
=C
2
=0，故y=x
2
e
－x
， 由y＇=(2x－x
2
)e
－x
=0得x=2， 当x∈(0，2)时，y＇＞0；当x＞2时，y＇＜0，则x=2为y(x)的最大值点， 故最大距离为d
max
=y(2)=4e
－2
．
2y"+y＇－y=0的通解为
令2y"+y＇－y=(4－6x)e
－x
的特解为y
0
=(ax
2
+bx)e
－x
，代入得a=1，b=0， 原方程的通解为
由
得y(0)=0，y＇(0)=0，代入通解得C
1
=C
2
=0，故y=x
2
e
－x
， 由y＇=(2x－x
2
)e
－x
=0得x=2， 当x∈(0，2)时，y＇＞0；当x＞2时，y＇＜0，则x=2为y(x)的最大值点， 故最大距离为d
max
=y(2)=4e
－2
．
【答案解析】