解答题
设fn(x)=x+x2+…+xn，n=2，3，…．
问答题
证明方程fn(x)=1在[0，+∞)上有唯一实根xn；
【正确答案】
【答案解析】[证] fn(x)连续，且fn(0)=0，fn(1)=n＞1，由介值定理可得．存在xn∈(0，1)，使fn(xn)=1，n=2，3，…，又x＞0时，f'n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，故fn(x)严格单调递增，因此xn是fn(x)=1在[0，+∞)内的唯一实根．
问答题
【正确答案】
【答案解析】[解] 由上小题可得，xn∈(0，1)，n=2，3，…，所以{xn}有界．
又因为fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2，3，…，所以
即
因此xn＞xn+1(n=2，3，…)，即{xn}严格单调递减．于是由单调有界准则知
存在，记
由
得
因为0＜xn＜1，所以
又因为fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2，3，…，所以
即
因此xn＞xn+1(n=2，3，…)，即{xn}严格单调递减．于是由单调有界准则知存在，记由得因为0＜xn＜1，所以