设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为
【正确答案】正确答案：因曲线上凸，故有y"＜0。由曲率计算公式，得
即y"=一(1+y'
2
)，这是不显含x也不显含y的可降价方程。令p=y'，则y"=p'，上述微分方程可化为 p'=一(1+p
2
)， 解此可分离变量的微分方程可得arctanp=C
1
一x，即arctany'=C
1
一x。 由曲线过点(0，1)，且在该点切线方程为y=x+1，可得初始条件y(0)=1，y'(0)=1。故由y'(0)=1，得C
1
=
，因此 arctany'=
一x， 即y'=tan(
一x)，等式两端积分可得y=ln｜cos(
一x)｜+C
2
。 由y(0)=1，得C
2
=1+
ln2。因此所求曲线方程为 y=ln
即y"=一(1+y'
2
)，这是不显含x也不显含y的可降价方程。令p=y'，则y"=p'，上述微分方程可化为 p'=一(1+p
2
)， 解此可分离变量的微分方程可得arctanp=C
1
一x，即arctany'=C
1
一x。 由曲线过点(0，1)，且在该点切线方程为y=x+1，可得初始条件y(0)=1，y'(0)=1。故由y'(0)=1，得C
1
=
，因此 arctany'=
一x， 即y'=tan(
一x)，等式两端积分可得y=ln｜cos(
一x)｜+C
2
。 由y(0)=1，得C
2
=1+
ln2。因此所求曲线方程为 y=ln
【答案解析】