问答题
证明：xn+xn-1+…+x=1(n＞1)在(0，1)内必有唯一实根xn，并求
【正确答案】[证] fn(x)=xn+xn-1+…+x-1，fn(0)=-1，fn(1)=n-1＞0，
而fn(x)连续，则由介值定理可得fn(x)在(0，1)内有零点．
又
(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+1＞0，则fn(x)单调增加，
所以fn(x)在(0，1)内有唯一零点，记为xn．于是有
①
②
①式-②式得
由于Q内均是正项，故Q＞0，又
＞0，所以
xn-xn-1＜0，即xn＜xn-1，即{xn)单调递减且有下界，故有极限，设为a．
由①可得
而fn(x)连续，则由介值定理可得fn(x)在(0，1)内有零点．
又
(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+1＞0，则fn(x)单调增加，所以fn(x)在(0，1)内有唯一零点，记为xn．于是有
① ②①式-②式得
由于Q内均是正项，故Q＞0，又
＞0，所以xn-xn-1＜0，即xn＜xn-1，即{xn)单调递减且有下界，故有极限，设为a．
由①可得
【答案解析】