【正确答案】 D

【答案解析】 显然，由AⁱX=0，两边左乘A，得Aⁱ⁺¹X=0，i=1，2，3，4．
   反之，若Aⁱ⁺¹X=0，是否有AⁱX=0．
   对选项A，取[*]，A²=0，取X=[0，0，0，1]^T，则A²X=0X=0，但[*]，故选项A不是同解方程组．
   对选项B，取[*]，A³=0，取X=[0，0，0，1]^T，则A³X=0，但[*]，故选项B不是同解方程组．
   对选项C，取[*]，A⁴=0，取X=[0，0，0，1]^T，则A⁴X=0，但[*]，故选项C不是同解方程组．
   由排除法知，应选择D．
   对于选项D：易知[*]，要证[*]，用反证法，设A⁵X=0，而A⁴X≠0，因5个四维向量X，AX，A²X，A³X，A⁴X必线性相关，存在不全为零的数k₀，k₁，k₂，k₃，k₄使得
   k₀X+k₁AX+k₂A²X+k₃A³X+k₄A⁴X=0．    (*)
   对式(*)两边左乘A⁴，得
   k₀A⁴X+k₁A⁵X+k₂A⁶X+k₃A⁷X+k₄A⁸X=0[*]k₀A⁴X=0，
   又A⁴X≠0得k₀=0，将k₀=0代入式(*)，类似地再两边左乘A³，可得k₁=0，同理可得k₂=k₃=k₄=0，这和X，AX，A²X，A³X，A⁴X线性相关矛盾，故A⁵X=0[*]A⁴X=0．(一般地，当A为n阶方阵时，有Aⁿ⁺¹X=0[*]AⁿX=0)
   故A是四阶方阵时，A⁴X=0和A⁵X=0是同解方程组．