设A为3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α
1
，α
2
，α
3
，令β=α
1
+α
2
+α
3
．
(1)证明：β，Aβ，A
2
β线性无关；
(2)若A
3
β=Aβ，求秩r(A－E)及行列式｜A+2E｜．
【正确答案】正确答案：(1)设 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0， ① 由题设Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1，2，3)，于是 Aβ=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
， A
2
β=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
3
2
α
3
， 代入①式整理得 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)α
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)α
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)α
3
=0． 因为α
1
，α
2
，α
3
是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有
其系数行列式
≠0，必有k
1
=k
2
=k
3
=0，故β，Aβ，A
2
β线性无关． (2)由A
3
β=Aβ有 A[β，Aβ，A
2
β]=[Aβ，A
2
β，A
3
β]=[Aβ，A
2
β，Aβ]=[β，Aβ，A
2
β]
令P=[β，Aβ，A
2
β]，则P可逆，且 P
－1
AP=
=B， 从而有r(A－E)=r(B－E)=
=2． ｜A+2E｜=｜B+2E｜=
其系数行列式
≠0，必有k
1
=k
2
=k
3
=0，故β，Aβ，A
2
β线性无关． (2)由A
3
β=Aβ有 A[β，Aβ，A
2
β]=[Aβ，A
2
β，A
3
β]=[Aβ，A
2
β，Aβ]=[β，Aβ，A
2
β]
令P=[β，Aβ，A
2
β]，则P可逆，且 P
－1
AP=
=B， 从而有r(A－E)=r(B－E)=
=2． ｜A+2E｜=｜B+2E｜=
【答案解析】