解答题
20.
设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，且f'(x)＞0，f(0)=0，f(x)的值域也是[0，+∞)．又设x=φ(y)是y=f(x)的反函数，常数a＞0，b＞0．证明：∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
φ(y)dy≥ab，当且仅当a=φ(b)时上式取等号．
【正确答案】
对第二个积分做积分变量变换，并由分部积分，有
∫
0
a
f(x)dx+∫
0
b
φ(y)dy=∫
0
a
f(x)dx+∫
0
φ(b)
φ(f(x))df(x)
=∫
0
a
f(x)dx+∫
0
φ(b)
xdf(x)
=∫
0
a
f
【答案解析】
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