解答题
18.已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
(1)求a．
(2)求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．
(3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
(1)求a．
(2)求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．
(3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
【正确答案】(1)此二次型的矩阵为
则r(A)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=-8a，得a=0．
(2)｜λE-A｜=
=λ(λ-2)2，
得A的特征值为2，2，0．
对特征值2求两个正交的单位特征向量：
得(A-2E)X=0的同解方程组x1-x2=0，求出基础解系η1=(0，0，1)v，η2=(1，1，0)T．它们正交，
单位化：α1=η1，α2=
方程x1-x2=0的系数向量(1，-1，0)T和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位
化得
α3=
作正交矩阵Q=(α1，α2，α3)，则
QTAQ=
作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y12+2y22．
(3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32．
于是f(x1，x2，x3)=0
求得通解为：
则r(A)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=-8a，得a=0．
(2)｜λE-A｜=
=λ(λ-2)2，得A的特征值为2，2，0．
对特征值2求两个正交的单位特征向量：
得(A-2E)X=0的同解方程组x1-x2=0，求出基础解系η1=(0，0，1)v，η2=(1，1，0)T．它们正交，
单位化：α1=η1，α2=
方程x1-x2=0的系数向量(1，-1，0)T和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位
化得
α3=
作正交矩阵Q=(α1，α2，α3)，则
QTAQ=
作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y12+2y22．
(3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32．
于是f(x1，x2，x3)=0
求得通解为：
【答案解析】