单选题
10.下列命题：
①设幂级数
的收敛半径分别为R1，R2，则幂级数
(an±bn)xn的收敛半径为R=min{R1，R2}；
②若幂级数
anxn的收敛半径为R，则必有
③若幂级数
anxn的收敛半径为R，则必有
④若
anx2n的收敛半径为
①设幂级数
的收敛半径分别为R1，R2，则幂级数(an±bn)xn的收敛半径为R=min{R1，R2}；②若幂级数
anxn的收敛半径为R，则必有③若幂级数
anxn的收敛半径为R，则必有④若
anx2n的收敛半径为
【正确答案】
A
【答案解析】取
的收敛半径均为1，但
的收敛半径为+∞，命题①错误．
对于幂级数
未必存在．如取an=1+(-1)n，则幂级数
[1+(-1)n]xn的收敛半径为1，但极限
命题②与命题③错误．故只有命题④正确，应选A．事实上，考虑
的绝对级数
，利用比值审敛法，
当
时，级数绝对收敛，从而原幂级数绝对收敛．
当
时，级数发散，从而原幂级数发散．
的收敛半径均为1，但的收敛半径为+∞，命题①错误．对于幂级数
未必存在．如取an=1+(-1)n，则幂级数
[1+(-1)n]xn的收敛半径为1，但极限 命题②与命题③错误．故只有命题④正确，应选A．事实上，考虑的绝对级数，利用比值审敛法，当
时，级数绝对收敛，从而原幂级数绝对收敛．当
时，级数发散，从而原幂级数发散．