设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f'(0)≠0．令F(x)=∫
0
x
(2t一x)f(t)dt．
求证：
问答题
若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数．
【正确答案】正确答案：F(x)在(一∞，+∞)上有定义，且F(x)=2∫
0
x
tf(t)dt一x∫
0
x
f(t)dt，故 F(一x)=2∫
0
-x
tf(t)dt+x∫
0
-x
f(t)dt．作换元t=一u，则当t：0→一x → u：0→x，且dt=一du，代入可得
【答案解析】
问答题
(0，0)是曲线y=F(x)的拐点．
【正确答案】正确答案：显然F(0)=0，由f(x)在(一∞，+∞)上有连续导数，且f'(0)≠0知
δ＞0使当｜x｜＜δ时f'(x)与f'(0)同号．为确定起见，无妨设f'(0)＞0，于是当｜x｜＜δ时f'(x)＞0．计算可得 F'(x)=2xf(x)一∫
0
x
f(t)dt—xf(x)=xf(x)一∫
0
x
f(t)dt， F"(x)=xf'(x)+f(x)一f(x)=xf'(x)
δ＞0使当｜x｜＜δ时f'(x)与f'(0)同号．为确定起见，无妨设f'(0)＞0，于是当｜x｜＜δ时f'(x)＞0．计算可得 F'(x)=2xf(x)一∫
0
x
f(t)dt—xf(x)=xf(x)一∫
0
x
f(t)dt， F"(x)=xf'(x)+f(x)一f(x)=xf'(x)
【答案解析】