【正确答案】证 设f(x)=e^x一1一x，x＞0，则有
f＇(x)=e^x一1＞0，f(x)＞f(0)=0，＞1，
从而 e^x₂=＞1，x₂＞0．
猜想x_n＞0，现用数学最纳法证明：n=1时，x₁＞0，成立．
假设n=k(k=1，2…)时，有x_k＞0，则有n=k+1时有
e^x_k+1=＞1，x_k+1＞0．
因此x_n＞0，有下界，再证单调性．
x_n+1—x_n=
设g(x)=e^x一1一xe^x，x＞0时，g＇(x)=e^x一e^x一xe^x=一xe^x＜0，所以g(x)单调递减，g(x)＜g(0)=0，即有e^x－1＜xe^x，因此
x_n+1一x_n=ln＜ln1=0，
即数列{x_n}单调递减，故由单调有界准则可知极限x_n存在．
不妨设x_n=A，则A e^A=e^A—1．
因为g(x)=e^x－1－xe^x只有唯一的零点x=0，所以A=0，则