解答题
20.设(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=
(Ⅰ)求Z=X一2Y的概率密度；
(Ⅱ)求P{X≤
(Ⅰ)求Z=X一2Y的概率密度；
(Ⅱ)求P{X≤
【正确答案】(Ⅰ)法一 分布函数法．
由分布函数的定义FZ(z)=P{Z≤z}=P{X一2Y≤z}，可知
当z＜一1时，FZ(z)=0；
当一1≤z＜0时，积分区域如图(a)所示：
当0≤z＜1时，积分区域如图(b)所示：
FZ(z)=P{X一2Y≤z}=1一P{X一2Y＞z}
=1一
(1—z)2；
当z≥1时，FZ(z)=1．
综上
法二 公式法．
fZ(z)=∫-∞+∞f(z+2y，y)dy，
法二 利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布．
即条件{Y=
}等价于在直线AB上随机投点，再要求{X≤
}等价于范围缩小到AC上随机投点，如图所示，
由分布函数的定义FZ(z)=P{Z≤z}=P{X一2Y≤z}，可知
当z＜一1时，FZ(z)=0；
当一1≤z＜0时，积分区域如图(a)所示：
当0≤z＜1时，积分区域如图(b)所示：
FZ(z)=P{X一2Y≤z}=1一P{X一2Y＞z}
=1一
(1—z)2；当z≥1时，FZ(z)=1．
综上
法二 公式法．
fZ(z)=∫-∞+∞f(z+2y，y)dy，
法二 利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布．
即条件{Y=
}等价于在直线AB上随机投点，再要求{X≤}等价于范围缩小到AC上随机投点，如图所示，【答案解析】