问答题
设f
n
(x)＝x﹢x
2
﹢…﹢x
n－1
(n＝2，3，…)．
(I)证明方程f
n
(x)＝0在区间[0，﹢∞)内存在唯一的实根，记为x
n
；
(Ⅱ)求(I)中的{x
n
)的极限值
【正确答案】正确答案：(I)由f
n
(0)＝－1﹤0，f
n
(1)＝n－1>0，n＝2，3，…，所以f
n
(x)＝0在区间(0，1)内存在实根，记为x
n
． 以下证在区间(0，﹢∞)内至多存在一个实根．事实上， f
n
’
(x)＝1﹢2x﹢3x﹢…﹢nx
n－1
﹥0，x∈(0，﹢∞)． 所以在区间(0，﹢∞)内f
n
(x)＝0至多存在一个实根．结合以上讨论至少一个至多一个，所以f
n
(x)＝0在区间(0，﹢∞)内存在唯一的实根，且在区间(0，1)内．记此根为x
n
(n＝2，3，…)． (Ⅱ)欲求
，先证其存在，为此，证{x
n
}单调减少． 0＝f
n
(x
n
)－f
n﹢1
(x
n﹢1
) ＝(
n
﹢
n
2
﹢…﹢x
n
n
)－(
n﹢1
﹢
n﹢1
2
﹢…﹢x
n﹢1
n
﹢x
n﹢1
n﹢1
) ＝(x
n
－x
n﹢1
)[1﹢(x
n
﹢
n﹢1
)﹢…﹢(x
n
n－1
﹢x
n
n－2
x
n﹢1
﹢…﹢x
n﹢1
n－1
]－x
n﹢1
n－1
． 由[ ]内为正，等号左边为0，所以x
n
－x
n﹢1
﹥0(n＝2，3，…)，不然上面等号右边为负，与左边为零矛盾．于是知{x
n
}随n增加而严格单调减少，且有下界(x
n
﹥0)．所以
另一方面，由x
n
﹤x
2
﹤1(n>2)，所以0﹤x
n
n
﹤x
2
n
． 但0﹤x
2
﹤1，由夹逼定理知
＝0． 由0＝f
n
(x
n
)＝x
n
﹢x
n
2
﹢…﹢x
n
n
－1
，先证其存在，为此，证{x
n
}单调减少． 0＝f
n
(x
n
)－f
n﹢1
(x
n﹢1
) ＝(
n
﹢
n
2
﹢…﹢x
n
n
)－(
n﹢1
﹢
n﹢1
2
﹢…﹢x
n﹢1
n
﹢x
n﹢1
n﹢1
) ＝(x
n
－x
n﹢1
)[1﹢(x
n
﹢
n﹢1
)﹢…﹢(x
n
n－1
﹢x
n
n－2
x
n﹢1
﹢…﹢x
n﹢1
n－1
]－x
n﹢1
n－1
． 由[ ]内为正，等号左边为0，所以x
n
－x
n﹢1
﹥0(n＝2，3，…)，不然上面等号右边为负，与左边为零矛盾．于是知{x
n
}随n增加而严格单调减少，且有下界(x
n
﹥0)．所以
另一方面，由x
n
﹤x
2
﹤1(n>2)，所以0﹤x
n
n
﹤x
2
n
． 但0﹤x
2
﹤1，由夹逼定理知
＝0． 由0＝f
n
(x
n
)＝x
n
﹢x
n
2
﹢…﹢x
n
n
－1
【答案解析】