解答题
[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:
问答题
22.存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=1;
【正确答案】由f'(ξ)=1,得f'(ξ)一1=0,[f(x)-x]'|x=ξ=0,因而令辅助函数F(x)=f(x)一x.因F(1)=f(1)一1=1—1=0,又f(x)为奇函数,故f(0)=0,于是
F(0)=f(0)一0=0.
显然f(x)在区间[0,1]上满足罗尔定理的其他条件,由该定理知存在ξ∈(0,1),使F'(ξ)=0,即
f'(ξ)一1=0,f'(ξ)=1.
【答案解析】
问答题
23.存在η∈(-1,1),使得f''(η)+f'(η)=1.
【正确答案】待证等式可改写成f''(η)+[f'(η)一1]=0,即[f'(η一1]'+[f'(η)一1]=0.
两边乘以e
η,则e
η[f'(η)一1]'+e
η[f'(η)一1]={e
η[f'(η)一1]}'=0.
于是应考虑辅助函数F(x)=[f'(x)一1]e
x.
由上题知,存在ξ∈(0,1),使f'(ξ)=1,又因f'(x)为偶函数,故f'(一ξ)=f'(ξ)=1,则
F(ξ)=[f'(ξ)一1]e
ξ=0,F(一ξ)=[f'(一ξ)一1]e
-ξ=[f'(ξ)一1]e
-ξ=0.
在区间[一ξ,ξ]上对F(x)使用罗尔定理,即得存在η(一ξ,ξ)

【答案解析】