设级数
(a
n
－a
n－1
)收敛，且
b
n
绝对收敛．证明：
(a
n
－a
n－1
)收敛，且
b
n
绝对收敛．证明：
【正确答案】正确答案：令S
n
＝(a
1
－a
0
)＋(a
2
－a
1
)＋…＋(a
n
－a
n＋1
)，则S
n
＝a
n
－a
0
． 因为级数
(a
n
－a
n＋1
)收敛，所以
＝S，则有
a
n
存在，于是存在M＞0，对一切的自然数n有｜a
n
｜≤M． 因为
绝对收敛，所以正项级数
｜b
n
｜收敛，又0≤｜a
n
b
n
｜≤M｜b
n
｜， 再由
M｜b
n
｜收敛，根据正项级数的比较审敛法得
｜a
n
b
n
｜收敛，即级数
(a
n
－a
n＋1
)收敛，所以
＝S，则有
a
n
存在，于是存在M＞0，对一切的自然数n有｜a
n
｜≤M． 因为
绝对收敛，所以正项级数
｜b
n
｜收敛，又0≤｜a
n
b
n
｜≤M｜b
n
｜， 再由
M｜b
n
｜收敛，根据正项级数的比较审敛法得
｜a
n
b
n
｜收敛，即级数
【答案解析】