设f(x)在(0，+∞)二阶可导且f(x)，f''(x)在(0，+∞)上有界，求证：f'(x)在(0，+∞)上有界.
【正确答案】正确答案：按条件，联系f(x)，f''(x)与f'(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式
＞0，h＞0有 f(x+h)=f(x)+f'(x)h+
f''(ξ)h
2
， 其中ξ∈(x，x+h)．特别是，取h=1，ξ∈(x，x+1)，有 f(x+1)=f(x)+f'(x)+
f''(ξ)，即f'(x)=f(x+1)-f(x)-
f''(ξ)． 由题设，｜f(x)｜≤M
0
，｜f''(x)｜≤M
2
(
∈(0，+∞))，M
0
，M
2
为常数，于是有 ｜f'(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+
＞0，h＞0有 f(x+h)=f(x)+f'(x)h+
f''(ξ)h
2
， 其中ξ∈(x，x+h)．特别是，取h=1，ξ∈(x，x+1)，有 f(x+1)=f(x)+f'(x)+
f''(ξ)，即f'(x)=f(x+1)-f(x)-
f''(ξ)． 由题设，｜f(x)｜≤M
0
，｜f''(x)｜≤M
2
(
∈(0，+∞))，M
0
，M
2
为常数，于是有 ｜f'(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+
【答案解析】