问答题
设函数f(x)在[0，1]上具有二阶连续导数f"(x)，且f(0)=f(1)=0，f(x)≠0，试证：
【正确答案】
【答案解析】因为f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=f(1)=0，f(x)≠0，
所以，|f(x)|在[0，1]上连续，且|f(x)|≠0，
因此，|f(x)|在(0，1)内有最大值，即
使|f(x
0
)|为|f(x)|的最大值，又
f(x 0 )=f(x 0 )-f(0)=f"(ξ 1 )x 0 ，0＜ξ 1 ＜x 0 ，
f(x 0 )=f(x 0 )-f(1)=f"(ξ 2 )(x 0 -1)，x 0 ＜ξ 2 ＜1，
所以，
因此，
所以，|f(x)|在[0，1]上连续，且|f(x)|≠0，
因此，|f(x)|在(0，1)内有最大值，即
使|f(x
0
)|为|f(x)|的最大值，又
f(x 0 )=f(x 0 )-f(0)=f"(ξ 1 )x 0 ，0＜ξ 1 ＜x 0 ，
f(x 0 )=f(x 0 )-f(1)=f"(ξ 2 )(x 0 -1)，x 0 ＜ξ 2 ＜1，
所以，
因此，