问答题
已知四维向量α1，α2，α3线性无关，且与向量β1，β2都正交，证明：β1，β2线性相关．
【正确答案】证法一 考虑齐次线性方程组AX=0，其中
由于β1与α1，α2，α3均正交，故β1是AX=0的解；同理β2也是AX=0的解．
但因r(A)=3，n-r(A)=1，即AX=0的基础解系仅含一个解向量，所以β1，β2线性相关．
方法二 不妨设β1≠0，则可证明α1，α2，α3，β1线性无关．事实上，考虑
x1α1+x2α2+x3α3+x1β1=0，
注意到β1与α1，α2，α3均正交。用P1T左乘上式两端，可得
由于β1与α1，α2，α3均正交，故β1是AX=0的解；同理β2也是AX=0的解．
但因r(A)=3，n-r(A)=1，即AX=0的基础解系仅含一个解向量，所以β1，β2线性相关．
方法二 不妨设β1≠0，则可证明α1，α2，α3，β1线性无关．事实上，考虑
x1α1+x2α2+x3α3+x1β1=0，
注意到β1与α1，α2，α3均正交。用P1T左乘上式两端，可得
【答案解析】[分析] 考查向量组的线性相关性．